Integração geométrica: uma aplicação à mecânica celeste.

Abstract

O objectivo desta tese é discutir e construir integradores geometricos que visam preservar as caracteristicas qualitativas de uma , quando esta é discretizada. Em par- ticular, mostra-se que para sistemas Hamiltonianos, os integradores simplécticos demonstram uma vantagem evidente. Isto é ilustrado pelo desenvolvimento de novas variantes do metodo de Euler simpléctico e do método StÄormer-Verlet, ambos adaptativos e não adaptativos, os quais produzem uma integração explícita e semi-explícita da Hamiltoniana não separável para as equações do problema de Hill. Em primeiro lugar, explora-se a ideia da integraçao geometrica, discutem-se algumas das suas vantagens e desvantagens, e sumarizam-se caracteristicas qualitativas relevantes a ser preser- vadas pelo integrador, quando comparados com os integradores classicos, na integração de um sistema Hamiltoniano. Tais objectivos são ilustrados com alguns exemplos, tais como o exemplo classico do pêndulo e o problema de Kepler. De seguida, desenvolvem-se alguns (mas não de forma exaustiva) resultados teóricos em sistemas com estrutura Hamiltoniana. Embora tal possa parecer, de certa forma, uma fuga ao tema principal da tese em integração geométrica, é essencial saber e compreender as caracteristicas qualitativas do sistema Hamiltoniano, de forma a construir-se integradores que lhe preservem a estrutura. No seguimento, fornece-se uma informação detalhada de alguns metodos numericos, nomeadamente, os metodos de Euler explicito e implicito, o metodo de Euler simplectico, a regra do ponto medio implicita, a familia Runge- Kutta e, em particular, o metodo StÄormer-Verlet. Quando se faz a inclusão de algum metodo numérico na classe dos integradores geometricos ou não geometricos, fundamenta-se tal decisão com a descrição das caracteristicas qualitativas preservadas. A ultima parte da tese é dedicada o problema de Hill, o qual modela o movimento no sistema solar de dois corpos proximos, que se movem em orbitas circulares à volta de um terceiro corpo,muito maior e situado a uma grande distância. Numa primeira etapa, descrevem-se as equações do movimento e as curvas de Hill. De seguida, desenvolvem-se metodos simplécticos para o problema, demonstrando-se, usando diversos resultados numericos, que os metodos com passo de integração variável preservam aproximadamente a energia do sistema Hamiltoniano, mas de uma forma mais é ciente e precisa que os metodos tradicionais. The objective of this thesis is to discuss and construct geometric integrators that aim to preserve the qualitative features of a di®erential equation when it is discretised. In particular, we show that for Hamiltonian systems, symplectic integrators have a clear advantage. This is illustrated in the development of new variants of the symplectic Euler and StÄormer-Verlet methods, both adaptive and non-adaptive, which enables explicit and semi-explicit integration of the non- separable Hamiltonian for the equations of Hill's problem. We ¯rst explore the idea of geometric integration and discuss some of the advantages and disadvantages and summarise the qualitative features that are preserved by the integrator, in comparison with several of the classical numerical integrators as applied to a Hamiltonian system. We demonstrate this with several examples, including that of the classical pendulum and Kepler's problem. We then develop some (though by no means exhaustive) essential theoretical results for systems with Hamiltonian structure. Although this may seem to be somewhat of a diversion from the main theme of the thesis on geometric integration, it is essential to understand the characteristic features of the Hamiltonian system, in order to construct structure-preserving algorithms. Next, we give a detailed description of several important numerical methods, namely, explicit and implicit Euler, symplectic Euler, the implicit midpoint rule, the Runge-Kutta family, and in particular, StÄormer-Verlet. We then categorise the methods into geometric and non- geometric integrators by outlining the qualitative feature that it preserves. The last part of the thesis is dedicated to Hill's Problem which models the motions in the solar system in which two nearby bodies move in nearly circular orbits about another much larger body at a great distance. First we describe the equations and Hill's curves. We then develop the symplectic methods for the problem and demonstrate using several numerical experiments that the resulting adaptive methods nearly preserve the total energy for the Hamiltonian system more e±ciently and accurately than the traditional methods.