Soluções periódicas em equações diferenciais ordinais.

Abstract

Neste trabalho começou-se por introduzir os conceitos considerados básicos, para o estudo e classificação de sistemas lineares hiperbólicos no plano, tendo como ferramenta auxiliar o software MAPLE. Em seguida, mostramos como encontrar soluções periódicas em certos sistemas de equações diferenciais, usando equações de amplitude fase escritas em coordenadas polares. Outro método para encontrar soluções periódicas é utilizar o teorema de bifurcação de Hopf. Trata-se de uma bifurcação onde se cria soluções periódicas a partir de um ponto de equilíbrio cuja linearização seja um centro. Esta bifurcação é muito estudada em diversas áreas como a química, biologia, hidrodinâmica, meteorologia entre outros. São estudados, neste trabalho, alguns exemplos aplicados nas áreas da química e biologia. Estudamos um sistema de equações diferenciais ordin´arias de primeira ordem, autónomas, modelo da reacção de Belousov-Zhabotinski, que é uma reacção química oscilatória, criada com o objectivo de simular o Ciclo de Krebs - processo metabolico relacionado com a respiração celular com o auxilio de mitocondrias. Mostramos, utilizando o teorema de Hopf, que as equações que modelam esta reacção apresentam soluções periódicas. De seguida, apresentamos um sistema aplicado na Biologia, o sistema de FitzHugh - Nagumo. We begin this work by introducing the basic concepts necessary for the classification and study of the hyperbolic linear systems in the plane. We use the software MAPLE as an auxiliary tool for this study. We show how periodic solutions to certain systems of differential equations can be found using phase-amplitude equations in polar coordinates. Another technique to find periodic solutions is the Hopf bifurcation theorem. This is a bifurcation where periodic solutions are created from an equilibrium, whose linearization is a center. This bifurcation is studied in several areas: chemistry, biology, hydrodynamics an meteorology. Some examples applied to chemistry and biology are studied in this work. We study one first order autonomous system of ordinary differential equations, which is a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction. This is a chemical reaction with oscillating behavior, created with the goal to represent de Krebs cycle - metabolic process related with the supply of cellular energy by mitochondria. We use the Hopf bifurcation theorem to find periodic solutions in the equations that model this reaction. Next, we study one system applied to biology - the FitzHugh- Nagumo equations.