Uma introdução à combinatória de técnicas de contagem.

Abstract

Todas as civilizações desenvolveram métodos de representação de números - Sistemas de Numeração, sendo os mais antigos que se conhecem os dos Egípcios e dos Sumérios, cerca de 3 mil anos antes da nossa era. Por volta do início da era cristã surgiram dois conceitos de enorme elevância para a escrita numérica: a numeração de posição e um “acessório” fundamental, o zero. Foi Leonardo de Pisa que, no séc. XIII, introduziu na Europa o nosso actual sistema de numeração, indo-árabe, que considerava mais adequado às necessidades que, na época, resultavam do desenvolvimento das transacções comerciais entre diversos povos. Depois dos números inteiros e fraccionários, as ampliações do conceito de número passaram pelos irracionais e pelos imaginários, para já não falar nos hiperreais, nos surreais e nos hipercomplexos. As propriedades dos números inteiros constituem, ainda hoje, um vasto campo de investigação. Problemas de enunciados extremamente simples mas cuja resolução, é ou ainda desconhecida ou extremamente difícil, têm motivado o desenvolvimento desta área. Como exemplos, podemos referir a demonstração do “Último Teorema de Fermat” que demorou mais de dois séculos a ser encontrada e a inexistência, até hoje, de um algoritmo eficiente para saber se um dado número é ou não primo. Na Teoria dos Números, propriedades que se pensava terem apenas um interesse teórico, revelam-se cada vez mais úteis em aplicações práticas. Um exemplo é a utilização dos números primos na Criptografia. As necessidades de contagem foram surgindo ao longo da História da Humanidade e, com elas, técnicas cada vez mais complexas. É no séc XVI que, devido às exigências do cálculo das probabilidades ligadas aos seguros de vida e a estudos realizados por diversos matemáticos, sobre os jogos de azar, que o desenvolvimento das técnicas de contagem sofreu um grande impulso. As combinações e as permutações poderão, talvez, ser consideradas as mais simples e as que têm uma utilização mais ampla. A importância das questões de enumeração tem crescido enormemente nas últimas décadas, muito em função das questões colocadas pela Teoria dos Grafos que se presta à modelação matemática de muitos problemas importantes. George Pólya, no séc. XX, introduziu uma nova técnica de contagem que se tem prestado às mais variadas aplicações, permitindo tratar desde enumeração do número de isómeros de uma substância até à enumeração de grafos. A Combinatória, embora tal possa não ser percepcionada pela maioria de nós, contribui decisivamente, e cada vez mais, para a resolução dos problemas da vida moderna.